黎曼積分之粗淺推論 (A heuristic derivation of some Riemann integrals)

中學時期，純數班有對函數微分有詳細論述，即

但純數班對積分的論述則不多，故希望在此補充一下。

我們想用積分(integration)尋找在一條曲條 f(x)下的面積，這面積是在某範圍 a ≤ x ≤ b 中︰

在估算曲條 f(x)下的面積前，我們先把有興趣的範圍[a, b]平均斬開N份，每份為ε闊，即N = (b-a)/ε  。把 f(x)下的面積定義為積分 

用棒形圖估算S之值，我們在每個x軸的切割處畫一個長方棒，每個長方棒的闊為ε，高為h。有兩種棒形圖畫法，我們稱之為S_1及S_2。假設f(x)為遞增函數(monotonous increasing function)，即f(x) ≥ f(y)如果 x > y︰

S_1 的棒形圖估算法

如上圖所示，S_1畫法是把在區域[x_0, x_1]中的棒高度定為h = f(x_1)，那麼長棒的面積便是(x_1 - x_0)h = ε f(x_1)。如此類推，第k個長棒的面積便是ε f(x_k)。把所有長棒的面積加起來，便是S_1的值，即

N = (x_k - x_0)/ε = (b-a)/ε 。S_1明顯高估了 在f(x)下的面積，即S_1 ≥ S。

S_2 的棒形圖估算法

我們用第二種方法畫棒形圖，S_2畫法把在區域[x_0, x_1]中的棒高度定為h = f(x_0)，使長棒的面積為ε f(x_0)，第k個長棒的面積便是ε f(x_{k-1})。與S_1相反，S_2明顯低估了 f(x)下的面積，即S_2 ≤ S。

我們可成立不等式 S_1 ≥ S ≥ S_2。S是我們想求的值。我們用例子找出部份積分S的結果。

例一︰假設 f(x) = x ，我們估算f(x)在 0 和 x 之間的積分，代入a = 0、b = x。用1+2+3+...+N = N(N+1)/2，即arithmetic mean為頭項加尾項乘項數，我們可求出S_1和S_2之值。先求S_1

當棒形圖的切割厚度趨向無窮小時，即ε → 0 ，

同樣地，求S_2在ε → 0 時的值，

結果S_1 = S_2 = (x^2)/2，但我們曾推論，在f(x)為遞增函數的區域中， S_1 ≥ S ≥ S_2，即積分S的真實值必然是夾在S_1和S_2中間。如今S_1 = S_2，那麼 f(x) = x 的積分必然是S = S_1 = S_2 =(x^2)/2，正正是純數課教授對x積分的結果。

例二︰ f(x) = x^2，我們求f(x)在a ≤ x ≤ b之間的積分。我先提示k^2項相加的結果

我們可用例一的方法，找出S_1及S_2的值，

最後用 S_1 ≥ S ≥ S_2，證明S = (x^3)/3。推而廣之，對x^n的積分亦如是。

即使f(x)不是遞增函數，而是遞減(monotonous decreasing)函數，即 f(x) ≤  f(y) 如果 x > y，我們亦可說S_1≤ S ≤ S_2，如果S_1 = S_2，即S = S_1 = S_2。由於所有平滑並連續函數都是由多片的遞增函數及遞減函數組合而成，只要在遞增的區域用S_1 ≥ S ≥ S_2，遞減的區域用S_1≤ S ≤ S_2，我們便可說，對於任何函數f(x)，若S_1 = S_2，S = S_1 = S_2。從而證明所有積分的結果，例如

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